Cours et exercices d'application sur la proportionnalité pour les 5ème.

 

Cours et exercices d'applications sur la proprotionnalité:

Proportionnalité imprimer Proportionnalité
Objectifs
Dans de nombreuses situations de la vie courante, la proportionnalité permet d’exprimer un pourcentage, de calculer une vitesse, d’indiquer la quantité d’ingrédients d’une recette de cuisine, ou le prix d’articles en fonction de leur masse…
Comment reconnaitre une situation de proportionnalité dans un tableau ou sur un graphique ? Comment calculer, dans une situation de proportionnalité, des données manquantes ?
1. Proportionnalité entre deux grandeurs
Partie 1 en vidéo
a. Grandeurs proportionnelles
Deux grandeurs sont proportionnelles si l’on peut calculer la valeur de l’une en multipliant la valeur de l’autre par un nombre, toujours le même, appelé coefficient de proportionnalité.
Exemples
— Grandeurs proportionnelles de la vie courante :
- la quantité de farine dans un gâteau et le nombre de personnes pour lequel le gâteau est prévu ;
- la distance sur une carte et la distance réelle.
— Grandeurs non proportionnelles de la vie courante  :
- la taille et l’âge d’une personne :
- la note à un devoir de mathématiques et le temps passé par l’élève.
b. Tableau de proportionnalité
Un tableau de proportionnalité est un tableau dans lequel on peut passer d’une ligne à l’autre en multipliant ou en divisant par un nombre, qui est toujours le même au sein du tableau.

• Exemple d’application 1
On remplit une baignoire avec de l’eau au rythme suivant :

 

On passe de la première ligne à la deuxième ligne en multipliant toujours par 2,3, donc la quantité d’eau versée et le temps sont proportionnels.
2,3 est le coefficient de proportionnalité. Ce nombre correspond au débit de l’eau dans la baignoire.

Remarque : on passe de la seconde ligne à la première en divisant par 2,3.

• Exemple d’application 2

Le tableau suivant indique les tarifs de vente de CD par correspondance :



Les deux quotients ne sont pas égaux, donc ce n’est pas un tableau de proportionnalité.

Il suffit de deux quotients différents pour affirmer que ce n’est pas un tableau de proportionnalité.
2. Représentation graphique
Partie 2 en vidéo
On construit les graphiques représentant les tableaux précédents.

• Exemple d’application 1


Les points de la représentation graphique sont sur une droite qui passe par l’origine.

• Exemple d’application 2

Les points de la représentation graphique ne sont pas alignés.

 
Si deux grandeurs sont proportionnelles, alors les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine.

Réciproquement : Si les points de la représentation graphique sont sur une droite passant par l’origine, alors les deux grandeurs sont proportionnelles.
 
3. Quatrième proportionnelle
Partie 3 en vidéo
La valeur du nombre manquant dans un tableau de proportionnalité s'appelle la quatrième proportionnelle.

Exemple d'application : Au marché, le prix des carottes est proportionnel au poids.

Compléter le tableau ci-dessous par différentes méthodes :

• Méthode 1 : en utilisant le coefficient de proportionnalité

On trouve le coefficient de proportionnalité : 1,50 ÷ 3 = 0,5 .
On calcule le prix pour 5 kg de carottes : 5 × 0,5 = 2,5 .
Le prix de 5 kg de carottes est donc 2,50 €.

•  Méthode 2 : par addition ou soustraction de deux colonnes

On connait les prix de 3 kg et 5 kg de carottes. Comme 3+5=8, on additionne les prix de 3 kg et 5 kg de carottes : 1,50+2,50 = 4. Le prix de 8 kg de carottes est donc de 4 €.

• Méthode 3 : par multiplication ou division d’une colonne par un nombre non nul

On connaît le prix de 3 kg de carottes. Comme 3 × 3 = 9, on multiplie le prix des 3 kg de carottes par 3 : 1,50 × 3 = 4,50 .
Le prix de 9 kg de carottes est donc 4,50 €.

 

Utilisation de la proportionnalité : les échelles imprimer Utilisation de la proportionnalité : les échelles
Objectifs
La recherche ou l’utilisation d’une échelle sur un plan est un cas particulier de la proportionnalité.
Qu’est ce qu’une échelle sur un plan ? Comment utiliser l’échelle d’un plan pour calculer des distances ? Comment calculer l’échelle d’un plan ?
1. Echelles
Partie 1 en vidéo
a. Définition
S’il y a proportionnalité entre les dimensions d’un objet dessiné sur un schéma et ses dimensions réelles, on appelle échelle le rapport de la longueur sur le schéma par la longueur réelle correspondante ; les deux longueurs étant exprimées dans la même unité :

On exprime souvent l’échelle sous la forme d’une fraction avec le numérateur égal à 1 (réduction) ou le dénominateur égal à 1 (agrandissement).

Exemples
Si une carte est à l'échelle , cela signifie que 1 cm sur la carte représente 500 000 cm en réalité :

Les distances sur une carte et sur le terrain sont proportionnelles.
Cette échelle peut aussi s'écrire 1 : 500 000 ou 1 / 500 000.

Si un croquis est à l'échelle , cela signifie que 2 cm sur le dessin correspondent à 1 cm en réalité.
b. Utiliser une échelle
• Calcul d'une longueur réelle 
Sur la carte à l'échelle , deux villes sont distantes de 9,5 cm.
Quelle distance à vol d'oiseau les sépare en réalité ?
On utilise un tableau de proportionnalité :

x = ( 500 000 × 9,5 )  1 = 4 750 000.
Or  4 750 000 cm = 47,5 km, donc la distance réelle est de 47,5 km.

• Calcul d'une longueur sur une représentation 
Un insecte mesure environ 9 mm de long. On le dessine à l'échelle .
Quelle sera la longueur du dessin de cet insecte ?
On peut soit construire un tableau de proportionnalité soit calculer directement.
L'échelle signifie que 20 mm sur le dessin correspondent à 1 mm en réalité. Les longueurs sont donc multipliées par 20 sur le dessin, d'où 9 × 20 = 180 mm.
9 mm dans la réalité sont représentés par 180 mm sur le dessin, c'est-à-dire par 18 cm.
c. Calculer une échelle
Sur un plan, la largeur d'une cuisine est de 1,7 cm. En réalité, elle est de 3,40 m.
Quelle est l'échelle de ce plan ?

Attention ! les deux dimensions doivent être exprimées avec la même unité : 3,40 m = 340 cm.

On complète le tableau de proportionnalité suivant :

x = ( 340 × 1 )  1,7 = 200 .
1 cm sur le plan représente 200 cm en réalité.
L'échelle de ce plan est   .

2. Agrandissement et réduction
Partie 2 en vidéo
Si l'échelle est supérieure à 1, il s'agit d'un agrandissement.
Si l'échelle est inférieure à 1, il s'agit d'une réduction.

Exemple 1
Le négatif d'une photographie est un rectangle de 24 mm sur 36 mm. La photographie est un agrandissement du négatif ; sa longueur est 16,2 cm.
Calculer l'échelle, puis la largeur de la photographie.

16,2 cm = 162 mm.

Conseil : Pour calculer une échelle, mettre le 1 de référence dans le tableau de proportionnalité au niveau des longueurs les plus petites.

 x = ( 162 × 1 )  36 = 4,5 .
4,5 mm sur la photo représentent 1 mm sur le négatif.
L'échelle est  > 1, il s'agit donc bien d'un agrandissement.
La largeur du négatif est égale à 24 mm, donc la largeur de la photographie est 24 × 4,5 = 108 mm = 10,8 cm.

Exemple 2
Un monument de longueur 110 m est représenté par une maquette de longueur 44 cm.
Calculer l'échelle.

110 m = 11 000 cm.

 x = ( 11 000 × 1 )  44 = 250 .
1 cm sur la maquette représente 250 m en réalité.
L'échelle est x < 1, il s'agit bien d'une réduction.

Utilisation de la proportionnalité : durée et vitesse imprimer Utilisation de la proportionnalité : durée et vitesse
Objectifs
Le calcul de vitesse est un cas particulier d’application de la proportionnalité.
Comment convertir des durées et des vitesses ? Comment calculer une vitesse dans le cas d’un mouvement uniforme ?
1. Durée
Partie 1 en vidéo
a. Unités de temps
La durée peut s’écrire sous différentes formes :
− en heures, minutes et secondes : 3 h 15 min 23 s ;
− en heures décimales : 2,12 h ;
− en fraction d’heure :  heure.
Relations de proportionnalité
b. Conversion de durées
• Convertir 2 h 14 min en minutes, puis en secondes.
2 h = 2 × 60 = 120 min, donc 2 h 14 = 120 + 14 = 134 min.
Et 134 × 60 = 8 040 s.

• Convertir 3 h 24 en heures décimales
Attention ! 3 h 24 est différent de 3,24 h.
On convertit les 24 minutes en écriture décimale.
Les minutes et les heures sont proportionnelles, donc :

 ,

donc 3 h 24 = 3 + 0,4 = 3,4 h.

2. Mouvement uniforme
Partie 2 en vidéo
a. Définition
Lorsque la distance parcourue par un mobile est proportionnelle à la durée du parcours, on dit que le mouvement est uniforme. Dans ce cas, le coefficient de proportionnalité permettant de passer de la durée à la distance parcourue est la vitesse constante du mobile.
b. Exemples d'applications
• Exemple 1
On relève toutes les demi-heures la distance parcourue par deux voitures sur le même parcours. Ces données sont regroupées dans le tableau suivant :

 

- Dans le cas de la voiture 1, les rapports sont égaux :

 

D’où le tableau de proportionnalité :

 

La voiture 1 a un mouvement uniforme, car la distance parcourue est proportionnelle à la durée.

Le coefficient de proportionnalité est égal à 90, ce qui signifie que la voiture 1 roule à la vitesse constante de 90 km / h.
- Dans le cas de la voiture 2, les rapports sont inégaux :

Alors, la distance parcourue par la voiture 2 n’est pas proportionnelle à la durée, donc le mouvement n’est pas uniforme.

• Exemple 2
La voiture 1 continue son trajet sur 117 km à la vitesse constante de 90 km/h.
Quelle est la durée de son parcours ?

Soit x la durée mise pour parcourir 117 km à 90 km / h.
On a le tableau de proportionnalité suivant :

  .

Donc 1,3 h = 1 h + 0,3 h = 1 h 18 min, car 0,3 h = 0,3 × 60 = 18 min.

La voiture 1 met 1 h 18 min pour parcourir 117 km à la vitesse constante de 90 km / h.

c. Unités de vitesses utilisées

Objectifs
Les pourcentages sont un cas particulier de la proportionnalité. Ils servent par exemple à indiquer les réductions pendant les soldes, publier les résultats des sondages, proclamer les résultats des élections, indiquer les répartitions…
Comment applique-t-on un pourcentage ? Comment calcule-t-on un pourcentage ?
1. Le pourcentage
Partie 1 en vidéo
Un pourcentage traduit une situation de proportionnalité.
• Exemple
Si dans un collège 40 % des élèves suivent des cours d’anglais, cela signifie qu’en moyenne :
- sur 100 élèves, 40 font de l’anglais ;
- sur 200 élèves, 40 × 2 = 80 font de l’anglais ;
- sur 500 élèves, 40 × 5 = 200 élèves font de l’anglais…

On peut résumer cette situation dans un tableau de proportionnalité :

Remarque : Le pourcentage représente le coefficient de proportionnalité.

2. Appliquer un pourcentage
Partie 2 en vidéo
Calculer a % d’une quantité revient à multiplier cette quantité par  .
• Exemple 1
Un chef d’entreprise annonce à ses salariés qu’ils sont augmentés de 5% en 2008.
Cela signifie que pour 100 euros de salaire, il y aura une augmentation de 5 euros.

On peut résumer la situation dans un tableau de proportionnalité :


• Exemple 2
Un yaourt de 150 g contient 40 % de matière grasse.
Quelle masse de matière grasse contient ce yaourt ?

Prendre 40 % de 150 revient à calculer :

 .

Ce yaourt contient 60 g de matière grasse.
3. Calculer un pourcentage
Partie 3 en vidéo
Le calcul de pourcentages peut se faire soit à l’aide d’un tableau de proportionnalité, soit en utilisant des fractions.

Exemple d’étude
Lors d’un sondage sur les habitudes alimentaires, 450 personnes sur 1200 interrogées déclarent ne pas prendre de petit déjeuner.
Calculer le pourcentage de personnes ne prenant pas de petit-déjeuner dans cet échantillon ?

- Méthode 1 : à l’aide d’un tableau de proportionnalité
Afin de calculer ce pourcentage, on se ramène à une situation de proportionnalité en considérant qu’il n’y a que 100 personnes interrogées : 

Pour passer de la première colonne à la seconde, on divise par 12 , donc on passe de 450 à x en divisant aussi par 12 :

Parmi les personnes interrogées, 37,5 % ne prennent pas de petit déjeuner.

- Méthode 2 : à l’aide de fractions
Les personnes qui ne prennent pas de petit déjeuner représentent   des personnes interrogées.
Pour calculer le pourcentage correspondant, on cherche une fraction égale à    et de dénominateur 100. Or :

 .

37,5% des personnes interrogées ne prennent pas de petit-déjeuner.

Exercices par ma prof de maths:

Par maxicours. com Merci à eux. (Site de cours et exercices à 9,99 euros par mois)

 

Exercice 1

Ce tableau récapitule la consommation d’essence d’un automobiliste effectuant un trajet :

Distance parcourue (en km)

50

80

120

150

Essence consommée (en L)

4

6,4

9,6

12

 

  1. Calculer chacun des quatre quotients .

  2. Ce tableau est-il un tableau de proportionnalité ?

  3. Quelle quantité d’essence cet automobiliste consomme-t-il pour 100 km ?

 

Exercice 2

Ce tableau est un tableau de proportionnalité. Trouver les coefficients de proportionnalité.

Nombre d'enfants

5

12

18

Nombre d'oreilles

10

24

36

 

Exercice 3

Compléter le tableau de proportionnalité suivant :

Valeur de x

3

6

12

 

27

Valeur de y

2

4

 

14

 

 

Exercice 4

  1. Recopier et compléter le tableau ci-dessous, donnant le périmètre d’un losange.

Longueur du côté (en cm)

2

3

6

8

Périmètre (en cm)

 

 

 

 

 

  1. Le périmètre d’un losange est-il proportionnel à la longueur de ses côtés ? Justifier la réponse.

 

Exercice 5

Un agriculteur fabrique du jus de pomme. Avec 50 kg de pommes, il obtient 20 L de jus de pomme.

  1. Quelle masse de pommes faut-il pour fabriquer 50 L de jus de pomme ?

  2. Quelle quantité de jus de pomme peut-on obtenir avec 60 kg de pommes ?

 

Exercice 6

Pour louer des DVD, il faut payer 9,50 € de cotisation annuelle et 3,50 € par DVD.

Alexandre loue 20 DVD en une année, Basile 10 DVD et Carole 35 DVD.

  1. Combien chacun paiera-t-il en une année ?

  2. Y a-t-il proportionnalité entre le nombre de DVD loués et le prix payé ?

 

Exercice 7

Dans une première recette, il y a 3 cL de jus de citron pour 10 cL de cocktail.

Dans une deuxième recette, il y a 4 cL de jus de citron pour 12 cL de cocktail.

  • Quel cocktail a le plus le goût de citron ?

 

Exercice 8

Un sondage est fait dans trois classes pour connaître la proportion des élèves qui écoutent de la musique. En 5ème A, sur 28 élèves, 21 élèves écoutent de la musique.

En 5ème B, sur 30 élèves, 25 en écoutent.

En 5ème C, sur 27 élèves, 18 en écoutent.

  • Dans quelle classe y a-t-il la plus grande proportion d’élèves qui écoutent de la musique ?

 

Exercice 9

Recopier et compléter le tableau suivant :

Durée (en h)

0,1

0,25

0,5

0,75

1

3,4

Durée (en min)

 

 

 

 

 

 

 

Exercice 10

Un train de marchandises se déplace d’un mouvement uniforme et parcourt 9 km en 12 min.

  • Combien de temps mettra-t-il pour parcourir 58,5 km ? 495 km ?

 

Exercice 11

Un cycliste se déplace d’un mouvement uniforme et parcourt 9,9 km en 30 min.

  • Quelle distance parcourra-t-il en 1 h 30 min ? en 2 h 24 min ?

 

Exercice 12

Une voiture a une vitesse constante sur l’autoroute. Son conducteur roule à 120 km/h.

  1. Quelle est la durée d’un parcours de 180 km ? On donnera le résultat en heures et minutes.

  2. Quelle distance aura-t-il parcourue pendant 1 h 45 min ?

 

Exercice 13

U

  1. Quel est le coefficient de proportionnalité qui permet de passer de la 1ère ligne à la 2ème ligne ?

  2. Calculer x et y.

  3. Quelle remise accorde-t-il pour 100 € d’achats ?

 

n commerçant accorde à ses clients des remises proportionnelles au montant de leurs achats.

Achats (en €)

30

50

y

100

Remise (en €)

4,5

x

13,5

?

 

 

Exercice 14

Calculer le pourcentage de hausse chez un commerçant :

  1. 4 € de hausse sur un lot de DVD à 50 € ;

  2. 3 € de hausse sur un pull de 20 € ;

  3. 12 € de hausse sur un baladeur MP3 de 150 € ;

  4. 9 € de hausse sur un téléphone de 45 €.

 

Exercice 15

Un rectangle RSTU a comme dimensions 3 cm sur 5 cm.

Un rectangle WXYZ a comme dimensions 6,9 cm sur 11,5 cm.

→ Le rectangle WXYZ est-il un agrandissement du rectangle RSTU ?

 

Exercice 16

Sur un plan de Lyon à l’échelle 1 / 8 800, la rue de la République mesure 12,2 cm.

→ Quelle est sa longueur réelle ?

 

Exercice 17

Un jeu vidéo coûtait 50 € en juillet.

Son prix baisse de 10 % en septembre, puis baisse de nouveau de 20 % en décembre.

→ De quel pourcentage a-t-il baissé entre juillet et décembre ?

 

Exercice 18 (posé au Kangourou 2002)

Christian a ajouté 3 g de sel à 17 g d’eau.

→ Quel est le pourcentage de sel dans la solution obtenue ?

 

 

Exercice 19

Un article coûte x euros. Il augmente de 20 %.

  1. Ecrire en fonction de x l’augmentation.

  2. Ecrire en fonction de x le nouveau prix.

  3. Si le nouveau prix est 45 €, quel est le prix de l’article avant l’augmentation ?

 

Exercice 20

Julien s’intéresse au prix qu’il paie selon le nombre de SMS qu’il envoie.

Nombre de SMS

3

5

6

9

Prix payé (en €)

22 votes. Moyenne 3.32 sur 5.

Commentaires (1)

1. justine 06/01/2011

article bien mais très long !!!

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